2022年10月29日，由旅美科協主辦的2022年全球創新峰會暨旅美科協30周年年會在美國劍橋召開，世界著名數學家、現任清華大學講席教授丘成桐通過現場連線作了題為《基礎科學中的學「問」》的主題演講。丘成桐教授憑籍自己五十多年的教學與科研的經驗，分享了他如何專注於做一流學者的寶貴經驗和真知灼見。
丘成桐教授首先簡要地回顧自己在美國名校求學的經歷。丘成桐教授強調說：「我主要的興趣是如何做一流學者。對我來說，一流學者不是做院士、得到有名的大獎，而是影響人類科學，在歷史上留下我們對學問貢獻的軌跡。」
丘成桐教授還以人工智能發展進一步發問：很多科學家都希望利用人工智能的方法來解決自己領域的重要問題。理論科學家卻是希望機器能夠幫忙思考，甚至提出新的研究方向！在列舉了一些人工智能發展的一些重要理論成果基礎上，他指出，問好的問題是好的科學的開端！但是直到目前為止，人工智能還沒有能力問一個即有意義又有深度的問題。除了問有意義的問題之外，人工智能也沒有辦法知道它的算法是否最佳？
丘成桐教授提出︰甚麽是學與問？我們要考慮整個學問向前走的方向到底是甚麽，應該如何去認識數學的內在結構，這是許多大數學家常常思考的問題。大學問家往往會提出很多問題，這一點很重要。但中國的科學家不大愛問問題，不大問自己原創的問題，更多的是解答別人的問題。雖然解答的不錯，但這不見得是數學和科學的真髓，重要的是要找出自己的方向。
丘成桐教授的一百二十問
丘成桐介紹說，在數學歷史上，一個非常重要的問題集，就是《希爾伯特二十三問》。1900年8月8日，這位德國數學家在巴黎國際數學家大會上做題為《數學問題》的演講。希爾伯特認為，從19世紀進入20世紀，提出一些重要的問題，對於推動學科進步的作用毋庸置疑。希爾伯特說，一個學科能夠產生大量重要問題，才能保持它的活力。這二十三問基本上引領了數學界五十年的發展。
1978年，丘成桐在普林斯頓高等研究院組織幾何年特別會議——微分幾何論壇，帶領一批數學家、幾何學家研究幾何方面主要的方向。他徇眾要求，作為領導的幾何學家提出幾何方面最重要的問題。
丘成桐教授認為，一些好的問題短期內不見得有很大的影響力，因為需要花時間去消化、去思考。但是，這些問題一經提出，往往會影響到數學中某些學科的方向。這一百二十個問題促成了一個重要的學科「幾何分析」的發端。
他還進一步指出，但是問題有好的也有不好的。甚麽叫好的問題？好的問題就是，思考這個問題本身，就發展出一系列的想法、催生出一系列文章。無論最終是否解決，僅僅推敲、研究這個問題的過程都很重要。在演講中，丘成桐教授還詳細介紹了當年他提出的一百二十個問題中的兩個題目——《能否聽出鼓的面積？》和《波節線的長度猜想》，以讓現場聽眾了解提問的重要性。
以數學中的「賦比興」引出好問題
丘成桐教授經常說道：「《詩經》中的賦比興的手法，也是數學家常用的手法。」
他說，自己在完成上述的波節線的長度猜想的過程中，基本方法是比較兩個完全不同的觀念，一個是幾何的觀念，一個是量子力學的觀念。這種手法其實是數學研究中的慣用手法。數學是很奇妙的學問，它是一個講究推理、講規則的學問。我們可以通過它們的規則和思想來做比較，就可以得到有意義的猜想。
丘成桐認為，詩經裡講「賦比興」，與我們做數學有著很密切的關係。所謂「比」，即用不同的景物類比，比如楊柳代表離別或者美人的腰枝。講起離別，不免想起《詩經》寫道「昔我往矣，楊柳依依。」、周邦彥筆下「長條故惹行客」、以及柳永的名句「楊柳岸，曉風殘月。」
他說，這種種不同的比較，也是數學上常用的手段。數學研究者們應該考慮這個思路，不能只做題目，看到數字就是數字，看到方程就是方程，它們中間有很多可以比較、可以關聯之處。
在明確提出了學習數學上述方法論的基礎上，丘成桐又提出：好問題從何而來？怎樣才能解決它？丘成桐說，我們首先要了解不同的觀點，就像我提到幾何的觀點與量子力學的觀點。歷史上，重要的大學問的完成，往往是不同學問之間碰撞產生火花促成的。
他舉例說，外爾是一個偉大的數學家，也是一個偉大的物理學家，他在量子力學和幾何學之間搭建了一個橋梁。因這個橋樑，孕育出一批很好的數學家，一個全新的路徑。
丘成桐說：「找到自己的方向，對我們來講是很重要的事情，也是問出好問題的重要途徑。還有一個途徑，可以產生好的問題。要解決一個大問題時，往往要有很好的工具。工具的發展是不斷精益求精的過程，每個新工具又促進學問繼續發展，新工具讓我們看到不同現象，提升我們看待問題的深度，又促發我們進一步發展工具。工具越多，越能產生更深刻的、更有效的解決問題的方法。每一次工具的進步，都帶動有意義的、重要的、突破性的學問的發展。」
何為偉大的工作與一流的問題
丘成桐明確提出，偉大的數學家都有一套自已對學問的看法(Philosophy)。這些系統的、深邃的、嶄新的觀點給古老的數學注入新的活力，因而產生一系列有意義的問題。正如西方歌劇《浮士德》、中國古典《紅樓夢》一樣，都是由不同部分組成，每個部分又自成一格，有其獨特之處，但無論牡丹、綠葉，終須大師寫下綱領，方可將零散的部分組合一番，成為一幅瑰麗的圖畫。所以，我們要創立一個這樣的綱領。在這綱領的指引下，將各個不同的學科分支放在一起，才能構建出一個宏偉的大廈！一般來說，要完成這種宏觀的看法，並非一人一時之工，一人一時之問，有時長達一個世紀，才看得出這些綱領的威力。
就此，丘成桐進行了例證。1854年，黎曼在偉大的就職演講《論作為幾何學基礎的假設》中，給出了幾何學的一個綱領。他通過物理學中的等價原理建造了新的內蘊幾何，完成了廣義相對論重要的部分。二十世紀初期，外爾開發李群的表示理論和規範場理論，成為現代理論物理的基礎。韋伊則在上世紀定下用代數幾何作為工具研究數學的方向，完成了數學歷史上一個偉大猜想—韋伊猜想(Weil conjecture)。
他的朋友朗蘭茲(Robert Langlands)五十多年前提出著名的朗蘭茲綱領(Langlands program)，用群表示理論研究數學，產生了一大批重要的方向和問題。
丘成桐說，這些工作可謂大氣磅礴。凡是偉大的工作，都是飽讀文獻「望盡天涯路」得來的結果。
他還說，自己在上世紀七十年代開創現代幾何分析時，主要的信念是用函數和定義的微分方程來描述空間，又通過幾何來了解函數和微分方程，自己提出的一百二十個問題就是這樣產生的。
何為一流的問題？丘成桐闡述道，好的問題一定要有深度、有趣味、並且簡潔。數學與文學有相通的地方。文學上，我們通過簡潔的語言描述我們看到的現象。數學也喜歡簡潔。一般來講，假如命題不夠簡潔，則難以深入，但深入的問題也不一定很簡潔。甚麽叫深度？深度就是解決一個問題後，可以引領新的方向，看到更深遠的圖景。甚麽是簡潔、漂亮？在數學上，大自然的美景可以通過很簡單的方程解釋清楚。當年牛頓方程、愛因斯坦方程、狄拉克方程，都是極簡潔的，總結了大自然之中很多很漂亮的現象，包含了大自然的奧秘,這當然是很漂亮的事情。
他同時還指出，有深度的學問不一定簡潔，往往還需要改進。第一流的問題一定要有深度，同時本身很漂亮，很有意義，讓人很有興趣。龐加萊猜想、費馬問題、卡拉比猜想，都是有深度、有興趣、很簡潔的問題，這是大問題，一流的問題。
如何培養中國本土的大師？
在演講中，丘成桐教授還談到了如何培養大師。他說，我們希望學生有視野、要用功、要發問，這都是很重要的訓練。有視野很重要，跑到高山上以更廣闊的視野看世界。但如果沒有爬山的工具，就只能遠遠的望，因此掌握工具也很重要。
他說：「70年代，我做了不少問題，為了解決問題，我學了很多數學，工具就是從學習中得到的，並不是隨便得出來的。我看了很多量子力學的書、幾何的書，從中得出了很多結論。因此，工具必不可少，否則都是空談。我希望大家做學問的時候，一定要一步一步紮實的走，才能做出重要的問題。但無論如何，問問題是一個最重要的步驟，問問題之後還要能夠解決它，就算不能解決，也要探索出新的工具、新的方向。」
丘成桐教授指出，今天，中國基礎科學想要發展，最主要的是問問題。中國的數學家都很不錯，但尚且沒有出現一批真的有能力問出重要的問題的數學家們。我們要訓練現在的年輕人，培養他們找出重要問題的能力。通過問問題能夠產生一些重要的工具，利用這些工具將問題解決之後，你的心裡會很高興。
「我想，做好學問的學者都有這個想法，好的數學完成了以後讓人覺得滿足。這不是驕傲，就像畫家完成一個漂亮的圖畫之後的心境。我鼓勵年輕的學者，好好的想，學好的學問，問好的問題，為了探索大自然的奧秘努力，為了尋找大自然中的規律，探討學問，很快就會產生一大批第一流的學者。」
附注：講稿原文刊登在《數理人文》雜誌，有刪節。 中美創新時報30日訊/記者溫友平
