丘成桐教授在旅美科協波士頓2021年會上雲端演講。溫友平攝影
丘成桐教授在旅美科協波士頓2021年會上雲端演講。溫友平攝影

本報記者溫友平波士頓報道

在美東時間2021年2月20日舉辦的旅美科協波士頓分會2021年會上,哈佛大學丘成桐教授作了題為「數學中的真與美」主題演講。丘成桐教授認為,數學之為學,有其獨特之處,它本身是尋求自然界真相的一門科學,但數學家也如文學家般天馬行空,憑愛好而創作,故此數學可謂是人文科學和自然科學的橋梁。在專題講座中,他多處引用中國古代文學的經典詩句來對歷史上偉大的數學家以及自身致力於數學的研究成果進行形象的文學化感性的描述,讓聽眾對於深奧且抽象的數學研究理論和方法所呈現出來的「真與美」有了深入淺出的生動理解。

丘成桐教授指出,從古到今,無論是科技、數學或人文科學,內容愈來愈豐富,分支也愈來愈多。考其原因,一方面是由於工具愈來愈多,能夠發現不同現象的能力也比以前大得多,一方面全世界的人口大量增長,不同種族、不同宗教、不同習俗的人在互相交流後,不同觀點的學問得到融會貫通,迸出火花,從而產生新的學問。
丘成桐教授強調,數學之為學,有其獨特之處。它本身是尋求自然界真相的一門科學,但數學家也如文學家般天馬行空,憑愛好而創作,故此數學可謂是人文科學和自然科學的橋梁。數學家研究大自然所提供的一切素材,尋找它們共同的規律,並用數學的方法表達出來。數學家認為數字、幾何圖形和各種有意義的規律都是自然界的一部分,並希望用簡潔的數學語言將這些自然現象的本質表現出來。

 
文化修養對於數學家的研究起著決定性作用

 
丘成桐教授介紹說,數學是一門公理化的科學,所有命題必須由三斷論證的邏輯方法推導出來,但這只是數學的形式,而不是數學的精髓。大部分數學著作枯燥乏味,而有些卻令人嘆為觀止,其中的區別在哪裡呢?對此,他認為,其主要差別就在於文化修養,文化修養對於數學家的研究方向及其最終成果將起到決定性的作用。
丘成桐教授分析說,大略言之,數學家以其對大自然感受的深刻程度,來決定研究的方向。這種感受既有其客觀性,也有其主觀性,後者則取決於個人的氣質。氣質與文化修養有關,無論是選擇懸而未決的難題,或者創造新的方向,文化修養皆起著關鍵性的作用。文化修養是以數學的功夫為基礎,自然科學為輔,但是深厚的人文知識也極為要緊。因為人文知識也致力於描述心靈對大自然的感受,所以司馬遷寫史記除了「通古今之變」外,也要「究天人之際」。數學家要將天文歷史融合在一起。
丘成桐教授介紹說,歷代的大數學家如阿基米德、牛頓,莫不以自然為宗,見物象而思數學之所出,即有微積分的創作;費馬和歐拉對變分法的開創性發明也是由於探索自然界的現象而引起的;近代幾何學的創始人高斯認為幾何和物理不可分。
而對於幾何學的研究正是丘成桐教授的最大貢獻所在。丘成桐教授指出,20世紀幾何學的發展,則因物理學上重要的突破而屢次改變其航道。當狄拉克把狹義相對論用到量子化的電子運動理論時,發現了狄拉克方程,以後的發展連狄拉克本人也嘆為觀止,認為他的方程比他的想象來得美妙,這個方程在近代幾何的發展中起著關鍵性的作用。
丘成桐教授進一步指出,我們對旋子的描述缺乏直觀的幾何感覺,但它出於自然,自然界賦予幾何的威力可說是無微不至的。廣義相對論提出了場方程,它的幾何結構成為幾何學家夢寐以求的對象,因為它能賦予空間一個調和而完美的結搆。丘成桐教授感嘆說:「我研究這種幾何結構垂三十年,時而迷惘,時而興奮,自覺同《詩經》、《楚辭》的作者,或晉朝的陶淵明一樣,與大自然渾為一體,自得其趣。」

 
數學的文釆就在於捕捉大自然的真和美

 
丘成桐教授指出,捕捉大自然的真和美,實遠勝於一切人為的造作,正如《文心雕 龍》說的:「雲霞雕色,有踰畫工之妙。草木菁華,無待錦匠之奇,夫豈外飾,蓋自然耳」。
在捕捉大自然的真和美的過程中,丘成桐教授有一番深刻的體驗。丘成桐教授介紹說,在空間上是否存在滿足引力場方程的幾何結搆是一個極為重要的物理問題,它也逐漸地變成幾何中偉大的問題。盡管其他幾何學家都不相信它存在,但是丘成桐教授卻鍥而不捨,不分晝夜地去研究它,就如屈原所說:「亦余心之所善兮,雖九死其猶未悔。」
於是,丘成桐教授花了五年工夫,終於找到了具有超對稱的引力場結構,並將它創造成數學上的重要工具。丘成桐教授說,當時的心境,可以用以下兩詩句來描述:「落花人獨立,微雨燕雙飛。」
因此,丘成桐教授認為,數學的文釆,表現於簡潔,寥寥數語,便能道出不同現象的法則,甚至在自然界中發揮作用,這就是數學優雅美麗的地方。
丘成桐教授還介紹說,他的老師陳省身先生創作的陳氏類,就文釆斐然,令人贊嘆。它在扭曲的空間中找到簡潔的不變量。在現象界中成為物理學界求量子化的主要工具,可謂是描述大自然美麗的詩篇,直如陶淵明「採菊東籬下,悠然見南山」的意境。
丘成桐教授總結說:「從歐氏幾何的公理化,到笛卡兒創立的解析幾何,到牛頓、萊布尼茨的微積分,到高斯、黎曼創立的內蘊幾何,一直到與物理學水乳相融的近代幾何,都以簡潔而富於變化為宗,其文釆絕不遜色於任何一個文學創作。它們軔生的時代與文藝興起的時代相同,絕對不是巧合。」
丘成桐教授還說:「數學家在開創新的數學想法的時候,可以看到高雅的文釆和嶄新的風格。例如歐幾里得證明存在無窮多個素數,開創反證法的先河。高斯研究十七邊形的對稱群,使伽羅瓦群成為數論的骨幹。這些研究異軍突起,論斷華茂,使人想起五言詩的始祖蘇李唱和詩與詞的始祖李太白的《憶秦娥》。」
丘成桐教授認為數理與人文有許多共通的地方。他舉例說,文學家和科學家都想搆造一個完美的圖畫,盡管每個作者有不同的手法,但是文學家和科學家有類似的地方。

 
數理與人文有許多共通的地方

 
丘成桐教授介紹說,狄拉克在完成他的方程後,他說他的方程比他自己更有深度,因為它優美地描述了基本粒子的性質,並在實驗室中得到證明,有些性質是狄拉克在創造這個方程前沒有辦法想象的。這是科學創新中產生的一個奇妙的現象,我們用以了解真理的工具往往會帶領我們向前,不斷地向前摸索!丘成桐還指出,將一個問題或現象完美化,然後將完美化後的結果應用到新的數學理論,來解釋新的現象,這是數學家的慣用手法,這與文學家有很多相似的地方,只不過文學家用這種手法來表達他們的感情罷了。
丘成桐教授還充分結合中國古代文學的創作實踐作了進一步闡述。他舉例說,在中國古代有很多傳說,很多是憑想象,將得到的一些知識,循當時作者或當政者的需要而完成一些著作,所以我們看到東漢劉向父子作偽經,也看到山海經的寫作,誇大地描述很多無法證明的事件。中國詩詞也有不少的例子。例如,李商隱和李白就創作了「錦瑟無端五十弦」和「白髮三千丈」這兩句誇大的詩句。在明清的傳奇小說裡,這種寫法更加流行,西遊記裡面描述的很多事情只有很少部分是事實,三國演義裡孔明借東風的事是作者為了誇大諸葛亮的能力而寫出來的。
丘成桐教授評價說:「文學家為了欣賞現象或者舒解情懷而誇大而完美化,但數學家卻為了了解現象而構建完美的背景。我們在現象界可能看不到數學家虛擬結搆的背景,但正如數學家創造虛數的過程一樣,這些虛擬的背景卻有能力來解釋自然界的奇妙現象,在數學家的眼中,這些虛擬背景,往往在現象界中呼之欲出,對很多數學家來說,虛數和圓球的觀念都可以看作自然界的一部分。」
丘成桐教授認為,有些時候,數學家利用幾千頁紙的理論來將一些模糊不清的具體現象用極度抽象的方法去統一、去描述、去解釋。這是數學家追求完美化的極致,值得驚奇的是,這些抽象的方法居然可以解決一些極為重要的具體問題,最出名的例子就是格羅滕迪克(Alexandre Grothendieck)在韋伊猜想上的偉大工作。
丘成桐教授說:「近代數學家在數學不同的分支取得巨大的成果,與文學家的手段極為類似。所以我說好的數學家最好有人文的訓練,從變化多姿的人生和大自然界得到靈感來將我們的科學和數學完美化,而不是禁錮自己的腳步和眼光,只跟著前人的著作,做小量的改進,就以為自己是一個大學者。」

 
中國數學家太注重應用不在乎數學的完美化

 
丘成桐教授作為世界著名的數學家,他對世界歷史上數學發展研究尤為深入。通過深入研究與以及自身實踐,丘成桐教授認為,中國數學家太注重應用,不在乎數學嚴格的推導,更不在乎數學的完美化,到了明清時期,中國數學家實在無法跟文藝復興時期的數學家比擬。
丘成桐教授指出:「晚清一代,數學更是不行,沒有原創性!可能是受到乾嘉考證的影響,大多好的數學家跑去考證九章算術和唐宋的數學著作,不做原創性的工作。和同一個時代,文藝復興以後的意大利、英國、德法的學者不斷嘗試的態度迥異。找尋原創性的數學思想,影響了牛頓力學,因此產生了多次的工業革命。」
丘成桐教授認為:「到今天,中國的理論科學家在原創性方面還是比不上世界最先進的水準,我想一個重要的原因是我們的科學家在人文方面的修養還是不夠,對自然界的真和美感情不夠丰富!這種感情對科學家和文學家說,其實是共通的。我們中華民族是一個富有感情和富有深度的民族。上述的文學家、詩人、小說家的作品,比諸全世界,都不遑多讓!」
丘成桐教授指出,應該從青少年一代就要著力培養豐富的人文素養以及探究科學的濃厚興趣。他認為,當一個年輕人對自己要學習的學問有濃厚的感情後,學習任何學問都會輕而易舉!至於數學和語文并重,則是先進國家(如美國等)一向認為是理所當然的。美國比較好的大學收學生時都看SAT的成績,最重要部分,考的就是語文和數學。
丘成桐教授還指出,除了考試以外,美國好的中學也鼓勵孩子多元化,盡量涉獵包括人文和數理的科目。美國有很多高質量的科普雜志,銷量往往都在百萬本以上。而中國好的科普不多,銷量也少得可憐,從這點就可以看到中西文化的異衕,希望中國會逐漸改進!
丘成桐最後還強調說:「在科研的創新上,我們要用真摯純朴的感情去找尋大自然的美麗、大自然的真實。我們都感謝以前的大師,我們在他們的肩膀上向前摸索,但我們也知道他們的道路不是唯一的,讓我們勇往直前,建立我們自己了解大自然的道路!」
人物事跡鏈接:
丘成桐:哈佛大學數學與物理教授、清華大學數學科學中心主任、北京雁棲湖應用數學研究院院長、美國科學院院士、中國科學院外籍院士,以及是菲爾玆獎、克拉福德獎、沃爾夫獎、馬塞爾·格羅斯曼獎、美國國家科學獎得主;著有《我的几何人生》(譯林出版社 2021 )、《哈佛數學史 150 年》(高等教育出版社 2021 ) 、《從萬里長城到巨型對撞機》(電子工業出版社 2016 ) 、《大宇之形》(湖南科學技朮出版社 2012 )等科普著作;主編的科普期刊有《數理人文》雜志(波士頓國際出版社)和《數學與人文》叢書(高等教育出版社)。

丘成桐教授的科普著作書影。主辦方供圖